Chắc hẳn nhiều em đã quen thuộc với công thức tính diện tích của một tứ giác khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa chúng là ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD\sin \left( AC,BD \right).$
Chứng minh. Gọi $O=AC\cap BD,$ góc $\left( AC,BD \right)=\widehat{AOB}=\widehat{DOC}=\alpha $ như hình vẽ khi đó $\sin \widehat{BOC}=\sin \widehat{DOA}=\sin \left( {{180}^{0}}-\alpha \right)=\sin \alpha $
\[\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{OAB}}+{{S}_{OBC}}+{{S}_{OCD}}+{{S}_{ODA}}\]
\[=\dfrac{1}{2}OA.OB\sin \widehat{AOB}+\dfrac{1}{2}OB.OC\sin \widehat{BOC}+\dfrac{1}{2}OC.OD\sin \widehat{COD}+\dfrac{1}{2}OD.OA\sin \widehat{DOA}\]
\[=\dfrac{1}{2}OA.OB\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OB.OC\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OC.OD\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OD.OA\sin \alpha \]
\[=\dfrac{1}{2}\sin \alpha \left[ OA\left( OB+OD \right)+OC\left( OB+OD \right) \right]\]
\[=\dfrac{1}{2}\sin \alpha \left( OA+OC \right)\left( OB+OD \right)=\dfrac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha .\]
Vậy khi một tứ giác có độ dài bốn cạnh liệu có tính được diện tích của nó hay không?
>>Chứng minh:
Ví dụ 1: Xét tứ giác $ABCD$ nội tiếp độ dài các cạnh là $AB=1,BC=2,CD=3,DA=4.$ Tính diện tích của tứ giác này.
Giải. Vì là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}={{180}^{0}}\Rightarrow \cos \widehat{BAD}=-\cos \widehat{BCD}=x$
Theo định lí côsin cho hai tam giác $ABD$ và $CBD$ ta có
$B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}=C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-2CB.CD.\cos \widehat{BCD}$
$\Rightarrow {{1}^{2}}+{{4}^{2}}-2.1.4.x={{2}^{2}}+{{3}^{2}}-2.2.3.\left( -x \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}$
$\Rightarrow \sin \widehat{BAD}=\sin \widehat{BCD}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{CBD}}$
$=\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}+\dfrac{1}{2}CB.CD.\sin \widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}.1.4.\dfrac{2\sqrt{6}}{5}+\dfrac{1}{2}.2.3.\dfrac{2\sqrt{6}}{5}=2\sqrt{6}.$
>>Trường hợp tổng quát:
Ví dụ 2: Xét tứ giác có độ dài các cạnh bằng 1, 2, 3, 4 và tổng hai góc đối của tứ giác bằng 900. Tính diện tích của tứ giác này.
Thực tế, nhiều trường hợp ta phải tính diện tích của một mảnh đất hình tứ giác. Trong trường hợp này, ta đo độ dài bốn cạnh và một đường chéo của mảnh đất ta sẽ tính được diện tích của mảnh đất theo công thức Hê - rông cho tam giác.
Xét tứ giác $ABCD$ có $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$ và $AC=e.$
Khi đó ${{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ADC}}$
$=\sqrt{{{p}_{1}}\left( {{p}_{1}}-a \right)\left( {{p}_{1}}-b \right)\left( {{p}_{1}}-e \right)}+\sqrt{{{p}_{2}}\left( {{p}_{2}}-c \right)\left( {{p}_{1}}-d \right)\left( {{p}_{1}}-e \right)}$ với ${{p}_{1}}=\dfrac{a+b+e}{2};{{p}_{2}}=\dfrac{c+d+e}{2}.$
Ví dụ 1: Một mảnh đất tứ giác có các kích thước như hình vẽ, tính diện tích của mảnh đất này
Tam giác $ABC$ có $a=3,3\text{m};b=8\text{m};e=11\text{m};{{p}_{1}}=\dfrac{a+b+e}{2}=\dfrac{3,3+8+11}{2}=11,15\text{m}$
Tam giác $ADC$ có $c=4,4\text{m};d=8,5\text{m};e=11\text{m};{{p}_{2}}=\dfrac{4,4+8,5+11}{2}=11,95\text{m}$
Nên diện tích mảnh đất là
$S=\sqrt{11,15\left( 11,15-3,3 \right)\left( 11,15-8 \right)\left( 11,15-11 \right)}$
$+\sqrt{11,95\left( 11,95-4,4 \right)\left( 11,95-8,5 \right)\left( 11,95-11 \right)}\approx 23,6270$ \[{{\text{m}}^{\text{2}}}\]