Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác toán 9

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác và có bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến đỉnh bất kì của tam giác.

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

- Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác.

- Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng $\large \frac{a\sqrt{3}}{6}$

- Tam giác đều có tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.

3. Bài tập đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác toán 9

3.1 Bài tập toán 9 kết nối tri thức

Bài 9.7 trang 76 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì $\large \Delta$ ABC cân tại A nên AB = AC = $\large 2\sqrt{2}$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

$\large \Rightarrow BC^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=16\Rightarrow BC=4cm$

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A nên bán kính của (O) bẳng một nửa cạnh huyền BC.

Vậy bán kính của (O) là: $\large R=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2cm$

Bài 9.8 trang 76 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Vì tam giác ABC đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trọng tâm của tam giác đó và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

$\large AO=\frac{\sqrt{3}}{3}BC$

Theo bài, AO = 3 cm

$\large \Rightarrow 3=\frac{\sqrt{3}}{3}BC\Rightarrow BC=3\sqrt{3}cm$

Gọi H là giao điểm của AO và BC. Khi đó AH vừa là đường trung trực, vừa là đường trung tuyến, cũng là đường cao của tam giác.Ta có:

$\large AO=\frac{2}{3}AH\Rightarrow AH=\frac{3}{2}AO=\frac{3}{2}.3=4,5cm$

Diện tích của tam giác ABC là:

$\large S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.4,5.3\sqrt{3}=\frac{27\sqrt{3}}{4}cm^{2}$

Vậy diện tích của tam giác ABC là $\large \frac{27\sqrt{3}}{4}cm^{2}$

Bài 9.9 trang 76 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Ta có OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp (O) của $\large \Delta$ ABC) nên $\large \Delta$ OAC cân tại O, do đó $\large \widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (tính chất tam giác cân).

Lại có $\large \widehat{OAC}+\widehat{OCA}+\widehat{AOC}=180^{o}$ (tổng ba góc của một tam giác)

$\large \Rightarrow 2\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{OAC}=\frac{180^{o}-\widehat{AOC}}{2}=90^{o}-\frac{\widehat{AOC}}{2}(1)$

Gọi K là giao điểm của AH và BC. Khi đó AK là đường cao của tam giac ABC.

Xét $\large \Delta$ ABK vuông tại K có: $\large \widehat{ABK}+\widehat{BAK}=90^{o}$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông)

$\large \Rightarrow \widehat{BAK}=90^{o}-\widehat{ABK}\Rightarrow \widehat{BAH}=90^{o}-\widehat{ABC}(2)$

Mặt khác, xét đường tròn (O) có $\large \widehat{ABC};\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC

$\large \Leftrightarrow \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}(3)$

Từ (2) và (3) ta có:

$\large \widehat{BAH}=90^{o}-\frac{\widehat{AOC}}{2}(4)$

Từ (1) và (4) ta có $\large \widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ .

Bài 9.10 trang 76 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác toán 9

Vì đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC lần lượt là E, F nên IE $\large \perp$ AB và IF $\large \perp$ AC.

Do đó $\large \widehat{AEI}=\widehat{AFI}=90^{o}$

Xét tứ giác AEIF có: $\large \widehat{BAC}+\widehat{AEI}+\widehat{AFI}+\widehat{EIF}=360^{o}$ (tổng các góc của một tứ giác)

$\large \Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{EIF}=360^{o}-90^{o}-90^{o}=180^{o}$

Bài 9.11 trang 76 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Gọi độ dài các cạnh của tam giác đều ABC là a (cm).

Vì tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (I; r) nên ta có $\large r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$

Theo bài, r = 1 cm nên:

$\large 1=\frac{\sqrt{3}}{6}.a\Rightarrow a=2\sqrt{3}$

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC là $\large 2\sqrt{3}$ cm.

Bài 9.12 trang 76 sgk toán 9/2 kết nối tri thức

Gọi độ dài các cạnh phía bên trong của khung gỗ là a (cm).

Bán kính của chiếc đồng hồ hình tròn là: r = 30 : 2 = 15 (cm).

Vì khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít chiếc đồng hồ nên đường tròn khung viền của đồng hồ nội tiếp tam giác chứa cạnh của khung gỗ và bán kính đường tròn này là: $\large r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$

$\large \Rightarrow 15=\frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow a=30\sqrt{3}cm$ Vậy độ dài cạnh của tam giác (phía bên trong) của khung gỗ là $\large 30\sqrt{3}cm$

3.2 Bài tập toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 68 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

− Vẽ đường trung trực a của đoạn thẳng AB.

− Vẽ đường trung trực b của đoạn thẳng AC.

− Gọi O là giao điểm của a và b.

− Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA.

Khi đó, đường tròn (O; OA) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Cách vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC:

− Vẽ đường phân giác AH của góc BAC.

− Vẽ đường phân giác BE của góc ABC.

− Gọi O là giao điểm của AH và BE.

− Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH.

Khi đó, đường tròn (O; OH) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Vì tam giác ABC đều nên O cũng là trọng tâm của ∆ABC.

Theo định lí Pythagore, ta có: AB2 = AH2 + BH2.

$\large \Rightarrow AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}cm$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$\large R=OA=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}cm$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

$\large r=OA=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}.3\sqrt{3}=\sqrt{3}cm$

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác toán 9

Bài 2 trang 69 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Ta có $\large \widehat{ACB}=90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC $\large \perp$ BC.

Mà AC // OI nên OI $\large \perp$ BC (tính chất từ vuông góc đến song song).

b) Gọi N là giao điểm của BC và OI.

Tam giác OBC có OB = OC = R nên $\large \Delta$ OBC cân tại O.

Ta có ON là đường cao của $\large \Delta$ OBC cân tại O.

Suy ra ON cũng là đường phân giác của $\large \widehat{COB}$ .

Do đó $\large \widehat{CON}=\widehat{NOB}$ .

Xét $\large \Delta$ COM và $\large \Delta$ BOM có:

OM là cạnh chung; $\large \widehat{COM}=\widehat{MOB}$ ; OB = OC = R.

Do đó $\large \Delta$ COM = $\large \Delta$ BOM (c.g.c).

$\large \Rightarrow \widehat{OCM}=\widehat{OBM}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\large \widehat{OBM}=90^{o}$ (BM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

$\large \Rightarrow \widehat{OCM}=\widehat{OBM}=90^{o}$ nên OC $\large \perp$ MC tại C.

Mà C thuộc đường tròn (O), do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 3 trang 69 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AD = AF, BD = BE, CE = CF.

Suy ra AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + CF) - (BE + CE)

= (AD + AF) + (CF - CE) + (BD - BE) = 2AD.

Vậy 2AD = AB + AC - BC (đpcm).

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a là:

2AF = AB + AC - BC;

2BD = 2BE = AB + BC - AC;

2EC = 2FC = AC + BC - AB.

Bài 4 trang 69 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Gọi (O; 1 cm) là đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng x (cm) (x > 0).

Khi đó O là trọng tâm của ∆ABC.

Vẽ đường trung tuyến AH của ∆ABC.

Ta có: $\large r=\frac{1}{3}AH\Rightarrow AH=3r=3.1=3cm$

Theo định lí Pythagore, ta có AB2 = AH2 + HB2.

$\large \Rightarrow x^{2}=3^{2}+\left ( \frac{\pi }{2} \right )^{2}\Rightarrow x^{2}-\frac{x^{2}}{4}=9\Rightarrow x^{2}=12$

$\large \Rightarrow x=-2\sqrt{3}$ (loại) hoặc $\large x=2\sqrt{3}$ (thỏa mãn).

Diện tích tam giác ABC là:

$\large S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.3.2\sqrt{3}=3\sqrt{3}(cm^{2})$

Vậy diện tích tam giác đều cần tìm là $\large 3\sqrt{3}(cm^{2})$

Bài 5 trang 69 sgk toán 9/2 chân trời sáng tạo

Gọi trại có dạng tam giác đều ABC có cạnh bằng 100 m và O là vị trí đặt đèn.

Vì vị trí đặt đèn cách đều ba đỉnh của tam giác nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Vẽ hai đường trung tuyến AH và BI, O là giao điểm của AH và BI.

Suy ra O là trọng tâm của $\large \Delta$ ABC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH, ta có: AB2 = AH2 + BH2.

$\large \Rightarrow AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{100^{2}-50^{2}}=50\sqrt{3}m$

Do đó: $\large R=OA=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.50\sqrt{3}=\frac{100\sqrt{3}}{3}m$

3.3 Bài tập toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 73 sgk toán 9/2 cánh diều

Ở Hình 15a, đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì đường tròn (O) đi qua cả ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Ở Hình 15b, đường tròn (O) không là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó không đi qua đỉnh C của tam giác ABC.
Ở Hình 15c, đường tròn (O) không là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vì nó không tiếp xúc với cạnh BC.
Ở Hình 15d, đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vì nó tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC.

Bài 2 trang 74 sgk toán 9/2 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169.

=> BC = 13 (cm).

Mặt khác, đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC có tâm là trung điểm O của cạnh huyền BC và bán kính bằng nửa cạnh huyền BC.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là: $\large \frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5cm$

Bài 3 trang 74 sgk toán 9/2 cánh diều

Giả sử đường tròn (I; 4 cm) nội tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a (cm). Khi đó AB = a (cm).

Vì tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (I; 4 cm) nên ta có:

$\large 4=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow a=\frac{4.6}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$

Vậy AB = $\large 8\sqrt{3}$ cm.

Bài 4 trang 74 sgk toán 9/2 cánh diều

Giả sử tam giác ABC đều có cạnh bằng a (dm) nội tiếp đường tròn (O; 4 dm).

Khi đó AB = a (dm).

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) nên ta có:

$\large 4=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow a=\frac{4.3}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$

Vậy AB = $\large 4\sqrt{3}$ dm.

Bài 5 trang 74 sgk toán 9/2 cánh diều

a) Vì góc ABD, góc ACD đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (do AD là đường kính của (O)) nên $\large \widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^{o}$ .

Do đó DB $\large \perp$ AB và CD $\large \perp$ AC.

b) Vì H là trực tâm của $\large \Delta$ ABC nên BH $\large \perp$ AC và CH $\large \perp$ AB.

Lại có CD $\large \perp$ AC và DB $\large \perp$ AB (câu a) nên BH // CD và CH // BD.

Xét tứ giác BHCD có BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.

c) Vì BHCD là hình bình hành nên BH = CD.

Xét $\large \Delta$ ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

AD2 = AC2 + CD2

=> (2R)2 = AC2 + BH2

Hay AC2 + BH2 = 4R2.

d) Vì BHCD là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD, do đó ba điểm H, M, D thẳng hàng.

Lại có AD là đường kính của đường tròn (O) nên O là trung điểm của AD.

Xét $\large \Delta$ AHD có O, M lần lượt là trung điểm của AB, HD nên OM là đường trung bình của tam giác,

Do đó: $\large OM=\frac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OM$

Bài 6 trang 74 sgk toán 9/2 cánh diều

a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H nên IH $\large \perp$ AC tại H, do đó $\large \widehat{IHA}=90^{o}$ .

Vì đường tròn (K) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H nên KH $\large \perp$ AC tại H, do đó $\large \widehat{KHA}=90^{o}$ .

Ta có $\large \widehat{IHK}=\widehat{IHA}+\widehat{KHA}=180^{o}$ .

Suy ra ba điểm I, H, K thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên điểm A cách đều hai tiếp điểm M và H hay AM = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AD, AC cắt nhau tại A nên điểm A cách đều hai tiếp điểm N và H hay AN = AH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó AM = AN.

c) Xét đường tròn (I) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên AI là đường phân giác của góc BAC, do đó $\large \widehat{IHA}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ .

Xét đường tròn (K) có hai tiếp tuyến AD, AC cắt nhau tại A nên AK là đường phân giác của góc CAD, do đó $\large \widehat{HAK}=\frac{1}{2}\widehat{CAD}$ .

Ta có: $\large \widehat{IAK}=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}$

$\large =\frac{1}{2}\widehat{BAC}+\frac{1}{2}\widehat{CAD}=\frac{1}{2}(\widehat{BAC}+\widehat{CAD})$

$\large =\frac{1}{2}\widehat{BAD}$

Vậy $\large \widehat{IAK}=\frac{1}{2}BAD$

Trên đây là bài học Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán 9 THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông
Đường tròn