1. Khái niệm hình thang và hình thang cân
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB // CD => ABCD là hình thang.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Ví dụ: Hình thang ABCD có => ABCD là hình thang cân.
2. Tính chất của hình thang cân
- Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
- Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Ví dụ: Hình thang cân ABCD có AD = BC ; AC = BD
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Định lý 3: Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có . Chứng minh ABCD là hình thang cân.
Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Do nên
OCD có
=>
OCD cân.
=> OC = OD (1).
Chứng minh tương tự ta có và AB // CD =>
OAB cân tại O
=> OA = OB (2)
Từ (1) và (2) => OA + OC = OB + OD => AC = BD
=> Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD => ABCD là hình thang cân.
>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới
4. Bài tập hình thang cân toán lớp 8 chương trình mới
4.1 Bài tập hình thang cân sách toán 8 kết nối tri thức
Bài 3.4 trang 55 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
ABCD là hình thang => AB // CD
=> = 180o =>
= 180o -
= 180o - 120o = 60o
=>
=> ABCD không phải là hình thang cân.
Bài 3.5 trang 55 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
Xét ∆ DOE và ∆ COE có:
=90° (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE);
EC = ED (giả thiết);
Cạnh OE chung
Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> OC = OD (hai cạnh tương ứng) (1)
Do đó tam giác OCD cân tại O nên .
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra ;
(cặp góc so le trong).
=> (do
)
Suy ra ∆ OAB cân tại O nên OA = OB (2)
Ta có: AC = OA + OC và BD = OB + OD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD
Hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân.
Bài 3.6 trang 55 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
Cách vẽ hình thang cân ABCD có đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm:
- Vẽ cạnh CD = 4 cm.
- Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm) và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A.
- Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 3 cm) và (C; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm B.
- Nối AB, AD, BC ta được hình thang cân ABCD (như hình vẽ).
Bài 3.7 trang 55 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
Có ABCD là hình thang cân nên
Ta có EA và EB lần lượng là đường phân giác của và
Mà
Ta có =>
BEA cân tại E => AE = BE.
Xét EAD và
EBC có:
=> EAD =
EBC
=> EC = ED.
Bài 3.8 trang 55 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
•Vì ABCD là hình thang cân nên ; AD = BC; AC = BD.
Xét DICD cân tại I, vì nên IC = ID.
=> IC - BC = ID - AD, hay IB = IA
Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1)
•Xét ∆ABD và ∆BAC có:
AB là cạnh chung;
(chứng minh trên);
AD = BC (chứng minh trên).
Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Tam giác JAB cân tại J vì nên JA = JB
Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) => I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Lộ trình khóa học DUO sẽ được thiết kế riêng cho từng nhóm học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước đạt điểm 9, 10 trong mọi bài kiểm tra.
4.2 Bài tập hình thang cân sách toán 8 chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
a.
Ta có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang
Do đó =180°
=> x = = 180°
= 180°−140° =40°
b.
Ta có MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang
Do đó = 180°
=> =180°−
= 180°−60°= 120°.
Ta có
=>
Ta có
=> = 360o - 110o- 60o - 120o = 70o
c.
Ta có HG // IK nên tứ giác GHIK là hình thang.
d.
Ta có VS ⊥ ST và UT ⊥ ST nên VS // UT.
Do đó tứ giác STUV là hình thang
Suy ra =180°
Nên 2x + x = 180° hay 3x = 180°, suy ra x = 60°.
Bài 2 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
Xét DABD có AB = AD nên là cân tại A
Vì BD là tia phân giác của góc B nên (tính chất tia phân giác của một góc)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
Xét tứ giác ABCD có AD // BC nên là hình thang => ABCD là hình thang.
Bài 3 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
a) Ta có AH ⊥ BC, AH ⊥ NM nên BC // NM
Tứ giác BCMN có BC // NM nên là hình thang.
b) Do BC // NM nên (so le trong).
Mà (do BM là tia phân giác của
)
BMN có
nên là
cân tại N
=> BN = MN.
Bài 4 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
a) Xét ∆ABD và ∆EBD có:
BA = BE (giả thiết);
(do BD là tia phân giác của
);
BD là cạnh chung,
Do đó ∆ABD = ∆EBD (c.g.c).
b) Do ∆ABD = ∆EBD (câu a) nên (hai góc tương ứng).
Do đó DE ⊥ BC
Mà AH ⊥ BC (giả thiết) nên DE // AH.
Tứ giác ADEH có DE // AH nên là hình thang
Lại có = 90° nên ADEH là hình thang vuông.
c) Do ∆ABD = ∆EBD (câu a) nên AD = ED (hai cạnh tương ứng)
Do đó D nằm trên đường trung trực của AE.
Lại có BA = BE (giả thiết) nên B nằm trên đường trung trực của AE.
=> BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE nên BD ⊥ AE, hay BI ⊥ AE.
Xét ∆ABE có AI ⊥ BE, BI ⊥ AE nên I là trực tâm của tam giác
Do đó EI ⊥ AB hay EF ⊥ AB.
Mà CA ⊥ AB (do ∆ABC vuông tại A)
=> EF // CA.
Tứ giác ACEF có EF // CA nên là hình thang.
Lại có nên ACEF là hình thang vuông.
Bài 5 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
a.
Ta thấy hai góc kề một đáy của tứ giác GHIK có số đo là 51° và 129° không bằng nhau.
Do đó tứ giác GHIK không phải là hình thang cân.
b.
Ta có (hai góc kề bù) nên
Do đó
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MQ // NP.
Tứ giác MNPQ có MQ // NP nên là hình thang.
Do MQ // NP nên =75° (góc N so le trong với góc ngoài tại đỉnh M của hình thang)
Do đó =75°.
=> Hình thang MNPQ là hình thang cân do có 2 góc kề đáy bằng nhau.
Bài 6 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
Do ABCD là hình thang cân nên AB // DC và AD = BC; AC = BD; (tính chất hình thang cân).
Xét DACD và DBDC có:
CD là cạnh chung;
AD = BC (chứng minh trên);
AC = BD (chứng minh trên).
Do đó DACD = DBDC (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Lại có (chứng minh trên)
Nên (
Mặt khác EG // AB nên (đồng vị) và
(so le trong).
Suy ra , do đó EG là tia phân giác của góc CEB.
Bài 7 trang 72 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạo
Áp dụng định lí Pythagore vào DADE vuông tại E, ta có:
AD2 = AE2 + DE2
Suy ra DE2 = AD2 - AE2 = 612 - 602 = 3 721 - 3 600 = 121 = 112
Do đó DE = 11 cm.
Kẻ BF ⊥ CD, khi đó BF là đường cao của hình thang cân ABCD nên BF = 60 cm.
Xét DADE và DBCF có:
=90°;
AD = BC (do ABCD là hình thang cân);
(do ABCD là hình thang cân).
Do đó DADE = DBCF (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra DE = CF = 11 cm (hai cạnh tương ứng).
Mà DE + EF + CF = DC
Nên EF = DC - DE - CF = 92 - 11 - 11 = 70 cm.
Tương tự Vận dụng 4, trang 71, Sách giáo khoa Toán 8, tập một, ta dễ dàng chứng minh được AB = EF = 70 cm.
Vậy độ dài đáy nhỏ của hình thang cân là 70 cm.
4.3 Bài tập hình thang cân sách toán 8 cánh diều
Bài 1 trang 103 SGK toán 8/1 cánh diều
a) Do ABCD là hình thang cân nên AC = BD và AD = BC (tính chất hình thang cân).
Xét ΔADC và ΔBCD có:
AD = BC; AC = BD; DC là cạnh chung
Do đó ΔADC = ΔBCD (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Hay .
Chứng minh tương tự ta cũng có: ΔABD = ΔBAC (c.c.c)
(hai góc tương ứng)
Hay .
b) Xét ΔTAD và ΔTBC có:
; AD = BC;
.
Do đó TAD =
TBC (g.c.g).
Suy ra TA = IB và TD = TC (các cặp cạnh tương ứng).
c) • Do TA = TB nên tam giác TAB cân tại T.
ΔTAB cân tại T có TM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên TM ⊥ AB.
• Do TD = TC nên tam giác TCD cân tại T.
ΔTCD cân tại T có TN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao do đó TN là đường trung trực của đoạn thẳng CD nên TN ⊥ CD.
• Do AB // CD, TM ⊥ AB, TN ⊥ CD nên T, M, N thẳng hàng
Hay MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.
Bài 2 trang 104 SGK toán 8/1 cánh diều
Lời giải:
a) Do Δ ABE, Δ BED, Δ BDC là các tam giác đều nên
Do đó,
=> 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Do Δ ABE, Δ BED là các tam giác đều nên
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // ED
Tứ giác ACDE có AC // ED nên là hình thang.
Mặt khác, (do Δ ABE, Δ BDC là các tam giác đều)
Do đó hình thang ACDE là hình thang cân.
c) Vẽ đường cao EH của tam giác AEB.
Do AEB là tam giác đều nên H là trung điểm của AB
Xét Δ EHB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
EB2 = EH2 + HB2
Do đó EH2 = EB2 - HB2
Ta có AC = AB + BC = a + a = 2a.
Diện tích hình thang cân ACDE là:
Bài 3 trang 104 SGK toán 8/1 cánh diều
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC, = 90° và AB // CD.
Xét Δ AMD và Δ BNC có:
= 90° (chứng minh trên);
AD = BC (chứng minh trên);
AM = BN (giả thiết).
Do đó Δ AMD = Δ BNC (hai cạnh góc vuông).
Suy ra (hai góc tương ứng).
Mặt khác = 180°,
= 180°(kề bù).
Tứ giác MNCD có MN // CD (do AB // CD) nên là hình thang.
Lại có
=> hình thang MNCD là hình thang cân.
Bài 4 trang 104 SGK toán 8/1 cánh diều
• Do ABC là tam giác cân tại A nên .
Do BE và CK là các đường phân giác của ΔABC
Do đó .
• Xét ΔKBC và ΔECB có:
; BC là cạnh chung;
Do đó ΔKBC = ΔECB (g.c.g)
Suy ra BK = CE và CK = BE (các cặp cạnh tương ứng).
• Xét ΔBKE và ΔCEK có:
KE là cạnh chung; BK = CE; BE = CK
Do đó ΔBKE = ΔCEK (c.c.c)
(hai góc tương ứng).
• Xét tứ giác BCEK có .
Hay
Do đó .
Mặt khác (kề bù)
Do đó
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên KE // BC
• Tứ giác BCEK có KE // BC nên là hình thang
Lại có nên hình thang BCEK là hình thang cân.
Bài 5 trang 104 SGK toán 8/1 cánh diều
a) • Do BD // AE nên = 60° (đồng vị)
Do AC // ED nên = 60° và
= 60° (các cặp góc so le trong).
Ta có = 180°
Δ BCD có nên là tam giác đều.
=> BD = BC = CD = 2 m.
• ΔBDE có BD = DE = 2 m nên là tam giác cân tại D
Lại có = 60° nên Δ BDE là tam giác đều.
Suy ra BE = BD = DE = 2m và = 60°.
• Do AC // ED nên (so le trong).
Δ ABE có AE = BE = 2 m nên là tam giác cân tại E.
Lại có = 60o nên Δ ABE là tam giác đều.
b) • Do ΔBCD là tam giác đều nên đường cao BH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác
Do đó H là trung điểm của BC
Xét Δ DHC vuông tại H, theo định lí Pythagore có:
CD2 = HC2 + DH2
Suy ra DH2 = CD2 - HC2 = 22 - 12 = 3.
Do đó DH = (m).
• Do ΔABE là tam giác đều nên AB = AE = 2 m.
Khi đó AC = AB + BC = 2 + 2 = 4 (m).
c) Diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là:
Trên đây là những kiến thức về hình thang cân lớp 8 trong chương trình toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Bên cạnh đó VUIHOC hướng dẫn các em cách giải các bài tập trong sách giáo khoa. Truy cập vuihoc.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán 8 bổ ích nhé các em!
>> Mời bạn tham khảo thêm:
- Hằng đẳng thức đáng nhớ
- Phân tích đa thức thành nhân tử
- Tứ giác
