Lý thuyết căn bậc hai toán 9 chương trình mới

1. Căn bậc hai

- Cho số thực a không âm. Số thực x thỏa mãn x2 = a được gọi là một căn bậc hai của a.

- Ta có kết quả sau:

+ Mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương là $\large \sqrt{a}$ , số âm là $\large -\sqrt{a}$

+ Số 0 chỉ có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết $\large \sqrt{0}=0$

- Chú ý:

+ Số âm không có căn bậc hai.

+ Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai căn bậc hai hay phép khai phương.

+ Nếu a > b > 0 thì $\large \sqrt{a}> \sqrt{b}\Rightarrow -\sqrt{a}<-\sqrt{b}<0<\sqrt{b}<\sqrt{a}$

2. Cách tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay

- Ta có thể tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai của một số thực không âm bằng máy tính cầm tay.

- Ví dụ cách tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay:

Lý thuyết căn bậc hai toán 9 chương trình mới

3. Căn thức bậc hai

- Với A là một biểu thức đại số, ta gọi $\large \sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

- Ta cũng nói $\large \sqrt{A}$ là một biểu thức đại số. Biểu thức $\large \sqrt{A}$ xác định hay có nghĩa khi A nhận giá trị không âm. Ta nói A $\large \geq$ 0 là điều kiện xác định của $\large \sqrt{A}$

- Khi A nhận giá trị không âm nào đó, khai phương giá trị này ta nhận được giá trị tương ứng của biểu thức $\large \sqrt{A}$ .

- Tương tự như căn bậc hai của một số thực khong âm, với A là một biểu thức, ta cũng có:

+ Với A $\large \geq$ 0, ta có $\large \sqrt{A}$ $\large \geq$ 0 => $\large (\sqrt{A})^{2}=A$

+ $\large (\sqrt{A})^{2}=|A|$

4. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

- Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\large \sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{A.B}$ . Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, chẳng hạn: $\large \sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}=\sqrt{A.B.C}$ ( với A, B, C $\large \geq$ 0)

- Nếu A, B là các biểu thức với A $\large \geq$ 0, B > 0 thì: $\large \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}$

5. Cách biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Nếu a là một số và b là một số không âm thì: $\large \sqrt{a^{2}.b}=|a|.\sqrt{b}$

- Đưa thừa số vào trong dấu căn:

+ Nếu a và b là hai số không âm thì $\large a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$

+ Nếu a là số âm và b là số không âm thì $\large a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$

- Trục căn thức ở mẫu:

+ Với các biểu thức A,B và B > 0, ta có $\large \frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$

+ Với các biểu thức A, B, C mà A $\large \geq$ 0, A $\neq$ B2, ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A+B})}{A-B^{2}}$

+ Với cá biểu thức A, B, C mà A $\large \geq$ 0, B $\large \geq$ 0, A $\neq$ B, ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B};\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}$

- Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: Phối hợp các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu...).

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

Lý thuyết căn bậc hai toán 9 chương trình mới

6. Một số dạng bài tập căn bậc hai toán 9 chương trình mới

6.1 Dạng bài tìm căn bậc hai của một số cho trước

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa chỉ có số thực không âm mới có căn bậc hai.

Nếu a > 0 thì căn bậc hai của a là $\large \pm \sqrt{a}$ và căn bậc hai số học của a là $\large \sqrt{a}$ .

Nếu a = 0 thì căn bậc hai của a bằng 0.

Nếu a âm thì a không có căn bậc hai.

Bài 1 trang 41 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có 42 = 16, nên 16 có hai căn bậc hai là 4 và −4.

b) Ta có 502 = 2500, nên 2500 có hai căn bậc hai là 50 và −50.

c) Ta có $\large \left ( \frac{2}{9} \right )^{2}=\frac{4}{81}$ , nên $\large \frac{4}{81}$ có hai căn bậc hai là $\large \frac{2}{9}$ và $\large -\frac{2}{9}$ .

d) Ta có 0,32 = 0,09, nên 0,09 có hai căn bậc hai là 0,3 và −0,3.

6.2 Dạng bài tìm một số khi biết căn bậc hai số học cho trước

Phương pháp giải: Với số thực không âm a cho trước ta luôn có số là số có căn bậc hai số học bằng a.

Bài tập: Số 11 là căn bậc hai số học của số nào?

Ta có 112 = 121 nên 121 là số có căn bậc hai số học là 11

6.3 So sánh căn bậc hai số học

Phương pháp giải: Nếu $\large 0\leq a<b\Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}$

Bài 4 trang 54 sgk toán 9/1 Cánh diều

$\large a) \frac{4}{3}>1>\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{4}{3}>\frac{3}{4}\Rightarrow \sqrt{\frac{4}{3}}>\sqrt{\frac{3}{4}}$

$\large b) 0,7=\sqrt{0,49}$

Do 0,48 < 0,49 => $\large \sqrt{0,48}<\sqrt{0,49}\Rightarrow \sqrt{0,48}<\sqrt{0,7}$

6.4 Tính giá trị biểu thức khi có căn bậc hai.

Phương pháp giải: Với $\large a\geq 0$ ta có $\large \sqrt{a^{2}}=a ;(\sqrt{a})^{2}=a$

Bài 3.4 trang 48 toán 9/1 kết nối tri thức

$\large \sqrt{5,1}^{2}=|5,1|=5,1$

$\large \sqrt{(-4,9)^{2}}=|-4,9|=4,9$

$\large -\sqrt{(-0,001)^{2}}=-|-0,001|=-0,001$

Bài 2 trang 41 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

$\large a) \sqrt{100}=\sqrt{10^{2}}=10$

$\large b)\sqrt{225}=\sqrt{15^{2}}=15$

$\large c) \sqrt{2,25}=\sqrt{(1,5)^{2}}=1,5$

$\large d) \sqrt{\frac{16}{225}}=\sqrt{\left (\frac{4}{15} \right )^{2}}=\frac{4}{15}$

6.5 Dạng bài tìm điều kiện để căn có nghĩa

Phương pháp giải:

Biểu thức $\large \sqrt{A}$ có nghĩa khi và chỉ khi A $\large \geq$ 0

Chú ý: Với a là số dương ta luôn có:

$\large x^{2}\geq a^{2}\Leftrightarrow x\geq a$ hoặc $\large x\leq -a$

$\large x^{2}\leq 0\Leftrightarrow -a\leq x\leq a$

Bài tập: Cho căn thức $\large \sqrt{5-2x}$ . Hãy tìm điều kiện xác định của căn thức.

Lời giải: Điều kiện xác định của căn thức là 5 - 2x $\large \geq$ 0 hay - 2x $\large \geq$ -5

$\large \Rightarrow x\leq \frac{5}{2}$

6.6 Tìm giá trị của x thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

+ x2 = a2 $\large \Leftrightarrow$ x = ±a

+ Với số a $\large \geq$ 0, ta có $\large \sqrt{x}=a\Leftrightarrow x=a^{2}$

Bài 3.3 trang 48 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Điều kiện xác định của biểu thức $\large \sqrt{x+10}$ là x + 10 $\large \geq$ 0 hay x $\large \geq$ -10.

Thay x = -1 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $\large \sqrt{x+10}$ ta được:

$\large \sqrt{-1+10}=\sqrt{9}=3$

Vậy giá trị của căn thức $\large \sqrt{x+10}$ là 3 khi x = -1.

Trên đây là bài học Lý thuyết căn bậc hai toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất đẳng thức
Bất phương trình bậc nhất một ẩn