I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ:
Hai đường thẳng \(y=3x+1\) và \(y=3x-6\) có hệ số \(a=a'(=3)\) và \(b\ne b'\) \((1\ne -6)\) nên chúng song song với nhau.
Hai đường thẳng \(y=3x+1\) và \(y=3x+1\) có hệ số \(a=a'(=3)\) và \(b= b'(=1)\) nên chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng \(y=x\) và \(y=-2x+3\) có hệ số \(a\ne a'\) \((1\ne -2)\) nên chúng cắt nhau.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
Phương pháp:
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp:
+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.
Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau
+) Ta có\(y = ax + b\) với \(a \ne 0\), \(b \ne 0\) là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;b} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).
+) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) khi và chỉ khi \({y_0} = a{x_0} + b\).
Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$
Phương pháp:
Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.
Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.
Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$
Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.
Khi đó $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm.
