Bài 5 Xác Suất Của Biến Cố: Lý Thuyết Và Bài Tập (Có Lời Giải)

1. Xác suất của biến cố và lý thuyết

1.1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Không gian mẫu có T là một phép thử ngẫu nhiên, cho rằng đây là một tập hữu hạn. Biến cố A có xác suất, kí hiệu là P(A) theo công thức sau:

Suy ra có số kết quả có thể xảy ra là:

$P(\Omega_{A})=1,P(\oslash)=0, 0\leq P(A)\leq 1$

1.2. Định nghĩa thống kê của xác suất

T là một phép thử ngẫu nhiên, A là biến cố liên quan đến phép thử. Lặp lại N lần phép thử T, thống kê lại số lần xuất hiện của A. Ta có định nghĩa xác suất của biến cố A.

P(A) = biến cố và số lần xuất hiện A:N

2. Tính chất của xác suất

2.1. Định lí

• $P(\Phi )=0;P(\Omega)=1$

• $0\leq P(A)\leq 1$, với tất cả biến cố A.

• Khi A và B xung khắc với nhau, suy ra:

$P(A\cup B)=P(A) + P(B)$ (công thức cộng xác suất).

2.2. Hệ quả

Với tất cả các biến cố A, ta sẽ có:

$P(\bar{A})=1 - P(A)$

3. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc mở rộng cộng xác suất trong bài 5 xác suất của biến cố:

Với n biến cố $A_{1},A_{2},A_{3},...A_{n}$ xung khắc đôi một.

Trong trường hợp đó:

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup .....A_{n}=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3}).....+P(A_{n})$

Với tất cả các giá trị của biến cố A, ta sẽ có: $P(\bar{A})=1 - P(A)$

Trong trường hợp A và B là 2 biến tùy ý nhưng cùng liên quan đến một phép thử. Trong trường hợp đó:

$P(A\cup B)=P(A) + P(B) + P(AB)$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

4. Quy tắc nhân xác suất của giao 2 biến cố

4.1. Định nghĩa hai biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được coi là độc lập khi xảy ra (hoặc không xảy ra) của biến cố A sẽ không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

4.2. Định lí

Khi P(AB) = P(A) . P(B) thì A và B là hai biến cố độc lập.

5. Bài tập xác suất của biến cố hay gặp (có lời giải)

Dưới đây là một số bài tập biến cố và xác suất của biến cố có lời giải mà các em có thể tham khảo thêm trong quá trình ôn tập.

Bài tập 1: Xác suất của biến cố có lời giải:

Một hộp có chữ a trên bốn quả cầu, chữ b trên hai của cầu, chữ c trên hai quả cầu, chọn ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Chọn quả ghi chữ a”;

B: “Chọn quả ghi chữ b”;

C: “Chọn quả ghi chữ c”.

Vậy khả năng xảy ra các biến cố là như nào? So sánh các khả năng đó.

Bài giải:

Biến cố A có số khả năng xảy ra là: $\frac{4}{8}=0.5$

Biến cố B có số khẳ năng xảy ra là: $\frac{2}{8}=0.25$

Biến cố C có số khả năng xảy ra là: $\frac{2}{8}=0.25$

Nhận xét: Biến cố B có ít khả năng xảy ra hơn biến cố A

Biến cố B và C có cùng khả năng xảy ra.

Bài tập 2: Xác suất của biến cố có lời giải:

Hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau được một người chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất tạo được thành một đôi từ hai chiếc giày được chọn.

Bài giải:

Gọi T là phép thử cần được thử nghiệm.

Số cách để từ 8 chiếc giày lấy ra 2 chiếc là $n(\Omega)=C_{2}^{8}=28$ (phân chia trái phải nên không giống nhau).

Số cách từ 4 đôi lấy được 1 đôi là n(A) = 4

Suy ra $P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$

Bài tập 3: Xác suất của biến cố có lời giải:

Với 4 ghế hai bạn nữ và hai bạn nam xếp ngẫu nhiên. Tính khả năng nam, nữ ngồi đối diện nhau.

Bài giải

Xếp 4 bạn vào 4 chỗ là hoán vị của 4 phần tử, suy ra không gian mẫu có 4!=24 phần tử.

Gọi A là biến cố cần tìm

A: biến cố nam ngồi diện nam, nữ ngồi dối diện nữ.

Có 4 chỗ để bạn nữ lựa chọn.

Có 1 chỗ cho bạn nữ đối diện thứ hai.

Sau khi các bạn nữ chọn chỗ ngồi, ở đối diện nhau thì còn lại hai chỗ để xếp cho 2 bạn nam và có 2! Cách xếp cho 2 người bạn này.

Suy ra theo quy tắc nhân 4.1.2!=8 cách để nam nữ không đối diện.

$P(A)=1 - P(\bar{A})=\frac{2}{3}$

Bài tập 4: Giả bài tập xác suất của biến cố có lời giải:

Các quả cầu trong hai hộp, 6 quả trắng, 4 quả đen trong hộp thứ nhất. 4 quả trắng, 6 quả đen trong hộp thứ hai. Lấy ngẫu nhiên một quả từ mỗi hộp.

Có:

"Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng" gọi là biến cố A.

"Quả lấy từ hộp thứ hai trắng" gọi là biến cố B.

Bài giải:

"Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu" gọi là phép thử T.

Việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai là không gian mẫu.

Lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 có 10 cách, lấy 1 quả cầu bất kì từ hộp 2 có 10 cách.

Suy ra, có phần tử không gian mẫu:

$\Rightarrow n(\Omega)=10 . 10=100$

Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng là A.

⇒ Lấy hộp A có 6 cách, hộp B có 10 cách.

⇒ n(A) = 6.10 = 60.

Suy ra $P(A)=\frac{60}{100}=0.6$

Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng là B.

⇒ Lấy từ hộp B có 4 cách và từ hộp A có 10 cách ⇒ n(B) = 4.10 = 40.

Suy ra $P(B)=\frac{40}{100}=0.4$

Cả hai quả đều ra trắng là A, B.

=> Hộp A có 6 cách lấy màu trắng, hộp B có 4 cách lấy.

$n(A.B)=\frac{24}{100}=0.24=0.6.0.4=P(A).P(B)$

Từ đó, ta có: P(A).P(B)

Vậy A với B là hai biến cố độc lập.

Bài tập 5: Xác suất của biến cố có lời giải:

Rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 con từ 52 lá bài tú lơ khơ, sao cho cả 4 con đều là át

Bài giải:

Tú lơ khơ có 52 quân bài, rút 4 con được gọi là phép thử T.

Mỗi kết quả được coi là tổ hợp chập 4 của 52 quân bài.

Suy ra $n(\Omega)=C_{52}^{4}=270725$

Rút 4 con át được gọi là biến cố A, n(A) = 1

Từ đó kết luận: $P(A)= \frac{1}{270725}=0.0000037$

Bài tập 6: Xác suất của biến cố có lời giải:

Súc xắc cân đối và đồng chất được một người reo. Mặt b chấm xuất hiện, có phương trình $x^{2}+bx+2$. Xác xuất để phương trình có nghiệm là?

Bài giải:

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta \geq 0\Leftrightarrow b\geq 2\sqrt{2}$ => $b\in \left \{ 3,4,5,6 \right \}$ => $A\in \left \{ 3,4,5,6 \right \}$

$\Rightarrow n(A)=4$

$P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Bài tập 7: Xác suất của biến cố có lời giải:

4 tấm bìa có số 1->4. 3 tấm được rút ngẫu nhiên.

Xác định các biến cố:

Tổng các số trên 3 tấm bìa bằng 8 là biến cố A.

Các số trên 3 tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp là biến cố B.

Tính P(A), P(B).

Bài giải:

Không gian mẫu gồm 4 phần tử:

⇒ n(Ω)=4

Các biến cố:

+ A = {1, 3, 4} ⇒ n(A) = 1

=> $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1}{4}$

+ B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)} ⇒ n(B) = 2

$P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách tìm xác suất của biến cố trong chương trình Toán 11. Để tham khảo thêm các dạng bài tập khác, các em hãy luyện thêm các dạng bài tại Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề!

Bài viết tham khảo thêm:

Phép thử và biến cố

Nhị thức Niu tơn

Phương thức quy nạp toán học