Khối đa diện lồi và khối đa diện đều - Toán hình 12

A. Lý thuyết khối đa diện lồi, khối đa diện đều

1. Khối đa diện lồi

a. Định nghĩa

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu như đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H). Lúc đó đa diện xác định (H) được gọi là khối đa diện lồi.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi:

c. Định lý Ơ-le

Trong mọi khối đa diện lồi đều có D - C + M = 2, trong đó:

D: là số đỉnh của đa diện lồi

M: Số mặt của khối đa diện

C: Số cạnh của khối đa diện.

2. Khối đa diện đều

a. Định nghĩa

Khối đa diện đều {p;q} là khối đa diện lồi có các tính chất như sau:

• Mỗi mặt của khối đa diện là một đa giác đều cạnh p
• Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của đúng q mặt

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa về khối đa diện đều:

c. Định lý

Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều đó là {3;3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}

Dưới đây là bảng tóm tắt chi tiết 5 loại khối đa diện đều:

Nhận xét 1: Khối đa diện đều loại {n;p} có: pD = 2C = nM.

Trong đó: D,C và M lần lượt là đỉnh, cạnh và mặt của khối đa diện.

Nhận xét 2: Trải phẳng các khối đa diện đều, chúng ta sẽ được hình vẽ như sau

Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn tập toán thi THPT Quốc Gia ngay từ đầu năm học mới.

B. Sơ đồ tư duy bài khối đa diện lồi, khối đa diện đều

C. Những kết quả cần ghi nhớ

1. Một khối đa diện bất kỳ phải có ít nhất 4 mặt, 4 đỉnh và 6 cạnh

2. Mỗi đỉnh của một khối đa diện bất kỳ phải là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

3. Không có khối đa diện lồi, khối đa diện đều nào có 7 cạnh

4. Một đa diện (H) có các cạnh của đa giác là p. Khi đó nếu (H) là lẻ thì p là số chẵn.

5. Một khối đa diện bất kỳ luôn luôn phân chia thành các khối tứ diện

6. Khối đa diện có mặt là các tam giác thì tổng các mặt luôn là số chẵn.

7. Không tồn tại hình đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh, số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải bài tập hình học không gian với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC nhé!

D. Bài tập vận dụng về khối đa diện lồi, khối đa diện đều

1. Dạng bài nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều

a. Phương pháp giải: Để giải được bài tập dạng nhận biết khối đa diện, các em học sinh phải nhớ được định nghĩa, định lý về khối đa diện lồi, khối đa diện đều và bảng tóm tắt 5 khối đa diện đều trong không gian.

b. Ví dụ:

c. Bài tập vận dụng

Trong các hình dưới đây, hình nào không phải là khối đa diện lồi?

Đáp án: Hình 4 không phải là khối đa diện lồi vì theo định nghĩa khối đa diện lồi là khối có đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ phải thuộc khối đa diện đó. Do đó ở hình 4 không thỏa mãn định nghĩa về khối đa diện lồi do đoạn MN ( xem hình vẽ) không thuộc hình khối đó.

2. Dạng bài các đặc điểm của khối đa diện đều

a. Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức được thừa nhận ở phần lý thuyết

b. Bài tập vận dụng

Hỏi: Hình chóp 30 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Đáp án: 16 mặt.

Giải thích: Gọi a là số cạnh của đa giác đáy hình chóp. Ta thấy được rằng số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên tổng số cạnh của hình chóp sẽ là 2a => 2a = 30 <=> a = 15.

Vậy đa giác đáy có 15 cạnh => số mặt bên của hình chóp là 15. Tuy nhiên hình chóp có một mặt đáy nên số mặt của hình chóp là 16.

3. Dạng bài xác định mặt phẳng đối xứng:

a. Phương pháp giải: Do tính chất đối xứng nên ta sẽ đi từ trung điểm của các cạnh để tìm mặt đối xứng. Đảm bảo khi chọn 1 mặt phẳng đối xứng thì các điểm còn lại sẽ chia đều về 2 phía.

b. Bài tập vận dụng

Hỏi: Tìm số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều.

Đáp án: Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng

Giải thích: Các mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều phải chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

Để giải quyết hết các dạng bài tập về khối đa điện lồi, khối đa diện đều từ cơ bản đến nâng cao, các em hãy tham khảo khóa học PAS THPT ngay nhé

Hy vọng qua bài viết trên, các em đã nắm được hết các kiến thức về khối đa diện lồi khối đa diện đều cùng phương pháp giải các dạng bài thường gặp. Để học thêm nhiều kiến thức toán học 12 và các môn học khác, các em hãy truy cập vào trang web của vuihoc nhé! Chúc các em một ngày học tập thật nhiều niềm vui và hiệu quả.

>> Mời các bạn xem thêm:

• Khái niệm về khối đa diện
• Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Lý thuyết về mặt tròn xoay