Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác| Toán 8 chương trình mới

1. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8

1.1 Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

- Trường hợp đồng dạng cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của hai tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

1.2 Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

- Trường hợp đồng dạng cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Chứng minh định lý:

Nếu A'B' = AB thì A'C' = AC. Do đó \large \DeltaA'B'C' = \large \DeltaABC (c.g.c)

=> \large \DeltaA'B'C' \large \sim\large \DeltaABC.

Nếu A'B' \neq AB thì không mất tính tổng quát, ta giả sử A'B' < AB. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = A'B'. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N.

Vì MN // BC nên \large \DeltaAMN \large \sim\large \DeltaABC. Do đó ta có:

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}

Kết hợp với AM = A'B' và giả thiết \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC} ta suy ra AN = A'C'.

Hai tam giác AMN và A'B'C' có: AM = A'B', \widehat{A}=\widehat{A'} , AN = A'C'.

Vậy \large \DeltaAMN = \large \DeltaA'B'C' (c.g.c). Vì \large \DeltaAMN \large \sim\large \DeltaABC nên \large \DeltaA'B'C'\large \sim\large \DeltaABC.

1.3 Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

- Trường hợp đồng dạng góc - góc: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Chứng minh định lý:

Nếu A'B' = AB thì A'C' = AC. Do đó \large \DeltaA'B'C' = \large \DeltaABC (g.c.g)

=> \large \DeltaA'B'C' \large \sim\large \DeltaABC.

Nếu A'B' \neq AB thì không mất tính tổng quát, ta giả sử A'B' < AB. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = A'B'. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N.

Vì MN // BC nên \large \DeltaAMN \large \sim\large \DeltaABC. Do đó ta có:

\large \widehat{AMN}=\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}

Hai tam giác AMN và A'B'C' có: AM = A'B', \widehat{A}=\widehat{A'} , \large \widehat{AMN}=\widehat{A'B'C'}.

Vậy \large \DeltaAMN = \large \DeltaA'B'C' (g.c.g). Vì \large \DeltaAMN \large \sim\large \DeltaABC nên \large \DeltaA'B'C'\large \sim\large \DeltaABC.

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, bạn sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi bạn ơi!!!!

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác| Toán 8 chương trình mới

2. Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8

2.1 Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 9.5

Giả thiết a) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

Giả thiết c) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc.

Các giả thiết b) và d) không suy ra hai tam giác đồng dạng.

Bài 9.6

Vì 6 + 12 + 15 = 33 (cm) và \large \frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15} nên bộ ba trong câu a) là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa

mãn yêu cầu. Các bộ ba còn lại hoặc không có tổng bằng 33 cm hoặc không có tỉ lệ tương ứng với (4 :

8 : 10) nên không thể là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu.

Bài 9.7

\large \DeltaA′B′C′ \large \sim\large \DeltaABC nên: \large \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}(1)

\large \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC};\widehat{B'C'A'}=\widehat{BCA};\widehat{C'A'B'}=\widehat{CAB}(2)

Hai \large \Delta A'B'M' và \large \DeltaABM có:

\large \frac{A'M'}{BM}=\frac{\frac{B'C'}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{B'A'}{BA} (theo (1));

\large \widehat{A'B'M'}=\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}=\widehat{ABM} (theo (2)).

Do đó \large \DeltaA′M′B′ \large \sim\large \DeltaAMB (c.g.c).

\large \Rightarrow \frac{A'M'}{AM}=\frac{A'B'}{AB}(3)

Tương tự \large \DeltaA′C′P′ \large \sim\large \DeltaACP và \large \Rightarrow \frac{C'P'}{CP}=\frac{A'C'}{AC}(4)

\large \DeltaA′B′N′ \large \sim\large \DeltaABN và \large \Rightarrow \frac{B'N'}{BN}=\frac{A'B'}{AB}(5)

Từ (1), (3), (4) và (5) suy ra \large \frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}

Bài 9.8

Có AB = 12 cm , AN = 8 cm. Suy ra \large \frac{AN}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.

AC = 15 cm, AM = 10 cm. Suy ra \large \frac{AM}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}

Suy ra \large \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}.

Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM có:

\large \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC};\widehat{A} chung.

Do đó \large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaANM (c.g.c).

Bài 9.9

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM:

\large \widehat{A} chung, \large \widehat{ABN}=\widehat{ACM} (giả thiết)

Suy ra \large \DeltaABN \large \sim\large \DeltaACM (g.g).

b) Vì \large \DeltaABN \large \sim\large \DeltaACM (chứng minh trên) nên \large \widehat{ANB}=\widehat{AMC}.

Lại có: \large \widehat{ANB}+\widehat{CNB}=180^{o};\widehat{AMC}+\widehat{BMC}=180^{o}(kề bù)

=> \large \widehat{CNB}=\widehat{BMC}.

Xét tam giác IBM và tam giác ICN có:

\large \widehat{CNB}=\widehat{BMC}\large \widehat{IBM}=\widehat{ICN}

Suy ra \large \DeltaIBM \large \sim\large \DeltaICN (g.g).

Suy ra \large \frac{IB}{IC}=\frac{IM}{IN} Suy ra IB . IN = IC . IM.

Bài 9.10

Kí hiệu các điểm như hình vẽ trên.

Ta có: AB, EF, CD đôi một song song vì cùng vuông góc với BC (do dựng thẳng đứng).

Do đó \large \DeltaCEF \large \sim\large \DeltaCAB và \large \DeltaBEF \large \sim\large \DeltaBDC.

Suy ra \large \frac{EF}{AB}=\frac{CF}{CB}\large \frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BC}.

Do đó: \large \frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB} =\frac{BF}{BC}+\frac{CF}{CB}=\frac{BF+CF}{BC}=\frac{BC}{BC}

Suy ra \large \frac{EF(AB+CD)}{CD.BA}=1

Vậy \large h=EF=\frac{CD.AB}{AB.CD}=\frac{2.3}{3+2}=\frac{6}{5}=1,2(m)

2.2 Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1

a) Xét \large \DeltaAFE và \large \DeltaMNG có:

\large \frac{AF}{MN}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3};\frac{FE}{NG}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3};\frac{AE}{MG}=\frac{c}{3c}=\frac{1}{3}

Suy ra \large \frac{AF}{MN}=\frac{FE}{NG}=\frac{AE}{MG}

Vậy \large \DeltaAFE \large \sim\large \DeltaMNG (c.c.c).

b) Tam giác AFE đồng dạng với tam giác MNG theo tỉ số \large \frac{1}{3} nên tỉ số chu vi của hai tam giác đó cũng bằng \large \frac{1}{3}.

Vậy chu vi tam giác MNG là: 15.3 = 45 (cm).

Bài 2

Chu vi tam giác ABC: AB + AC + BC = 19.

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A'B'C' là: \large k=\frac{19}{66,5}=\frac{2}{7}

\large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaA′B′C′ nên \large \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{2}{7}

Vậy: A′B′=14, A′C′=21, B'C'=63/2.

Bài 3

Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600.m tương ứng với cạnh ngắn nhất của con đường bên trong là 300 m.

Do đó, con đường bên trong đồng dạng với con đường bên ngoài theo tỉ số \large K=\frac{300}{600}=\frac{1}{2} nên tỉ số độ dài 2 con đường cũng bằng \large \frac{1}{2}.

Độ dài con đường bên trong là: 300 + 350 + 550 = 1200 (m).

Độ dài con đường bên ngoài: 2.1200 = 2400 (m)

Độ dài quãng đường Nam chạy: 4.1200 = 4800 (m).

Độ dài quãng đường Hùng chạy: 2.2400 = 4800 (m).

Vậy quãng đường chạy được của hai bạn bằng nhau.

Bài 4

a. Xét \large \DeltaDEF và \large \DeltaABC có:

\large \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}

\large \widehat{A}=\widehat{D}=120^{o}

Vậy \large \DeltaDEF \large \sim\large \DeltaABC (c.g.c).

b. Cặp tam giác trên không đồng dạng.

Bài 5

Xét \large \DeltaDEF và \large \DeltaMNP ta có:

\large \frac{DE}{MN}=\frac{EF}{NP}=\frac{3}{5}; \widehat{E}=\widehat{N}(gt)

Do đó \large \DeltaDEF \large \sim\large \DeltaMNP (c.g.c)

Suy ra \large \widehat{F}=\widehat{P}=42^{o} (hai góc tương ứng).

Vậy \large \widehat{F}=42^{o}

Bài 6

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác| Toán 8 chương trình mới

a) Xét \large \DeltaAFE và \large \DeltaABC có:

\large \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}

\large \widehat{A} chung

Do đó \large \DeltaAFE \large \sim\large \DeltaABC (c.g.c)

Suy ra \large \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC} (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó \large \frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{EF}{18}=\frac{2}{3}

\large \Rightarrow EF=\frac{18.2}{3}=12cm

Vậy EF = 12 cm.

b) Xét \large \DeltaABC và \large \DeltaMED ta có:

\large \frac{BC}{ED}=\frac{AC}{MD}=\frac{3}{4}

\large \widehat{C}=\widehat{D} (tam giác FDC cân)

Vậy \large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaMED (c.g.c).

Bài 7

a) Xét \large \DeltaBNM và \large \DeltaABC ta có:

MN // BC nên \large \widehat{MNB}=\widehat{ABC} (hai góc so le trong)

MB // AC nên \large \widehat{MBN}=\widehat{BAC} (hai góc so le trong)

Vậy \large \DeltaBNM \large \sim\large \DeltaABC (g.g).

b) Do \large \DeltaBNM \large \sim\large \DeltaABC (cmt) nên \large \widehat{C}=\widehat{M}=48^{o}.

Bài 8

a) Xét \large \DeltaMNP và \large \DeltaDEF có:

\large \widehat{N}=\widehat{E};\widehat{M}=\widehat{D}

Do đó \large \DeltaMNP \large \sim\large \DeltaDEF (g.g)

Suy ra \large \frac{NP}{EF}=\frac{MP}{DF} (các cạnh tương ứng).

Khi đó \large \frac{a+3}{32}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\rightarrow a+3=\frac{32.3}{4}=24(cm).

Vậy a = 24 - 3 = 21.

b) Xét hình thang ABCD (AB // CD):

Vì AB // CD nên \large \widehat{MAB}=\widehat{MCD};\widehat{MBA}=\widehat{MDC} (cặp góc so le trong).

Xét \large \DeltaAMB và \large \DeltaCMD có:

\large \widehat{MAB}=\widehat{MCD} (chứng minh trên)

\large \widehat{MBA}=\widehat{MDC} (chứng minh trên)

Do đó \large \DeltaAMB \large \sim\large \DeltaCMD (g.g)

Suy ra \large \frac{AM}{CM}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD} (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó \large \frac{6}{15}=\frac{y}{10}=\frac{8}{x}

Suy ra \large x=\frac{15.8}{6}=20; y=\frac{6.10}{15}=4

Vậy x = 20; y = 4.

Bài 9

a) Xét \large \DeltaHOP và \large \DeltaHPE có:

\large \widehat{HOP}=\widehat{HPE} (gt)

\large \widehat{HPO}=\widehat{HEP} (gt)

Do đó \large \DeltaHOP \large \sim\large \DeltaHPE (g.g)

Suy ra \large \frac{HO}{HP}=\frac{HP}{HE} (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó \large \frac{6}{HP}=\frac{HP}{4} nên HP2 = 6.4 = 24.

Vậy HP = \large 2\sqrt{6} cm.

b) Xét \large \DeltaAEM và \large \DeltaAMF ta có:

\large \widehat{A} chung

\large \widehat{AME}=\widehat{AFM}

Do đó \large \DeltaAEM \large \sim\large \DeltaAMF (g.g)

Suy ra \large \frac{AE}{AM}=\frac{AM}{AF} nên AM2 = AE.AF (đpcm).

Bài 10

Xét \large \DeltaIAB và \large \DeltaICD ta có:

\large \widehat{B}=\widehat{D} (gt)

\large \widehat{AIB}=\widehat{CID} (đối đỉnh)

Suy ra \large \DeltaIAB \large \sim\large \DeltaICD (g.g) nên \large \frac{IA}{TC}=\frac{IB}{ID}=\frac{AB}{CD}

\large \frac{IA}{2,4}=\frac{7,8}{ID}=\frac{9}{3}=3\Rightarrow IA=7,2;ID=2,6

Quãng đường đi từ M \large \rightarrow A \large \rightarrow I là: 4,73 + 7,2 = 11,93 (km)

Quãng đường đi từ M \large \rightarrow B \large \rightarrow I là: 4,27 + 7,8 = 12,07 (km)

Quãng đường đi từ I \large \rightarrow C \large \rightarrow N là: 2,4 + 1,84 = 4,24 (km)

Quãng đường đi từ I \large \rightarrow D \large \rightarrow N là: 2,6 + 1,16 = 3,76 (km)

Vậy quãng đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty là M → A → I → D → N với độ dài 15,69 km.

2.3 Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1

Ta có: \large \frac{AB}{IK}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2};\frac{BC}{KH}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2};\frac{AC}{IH}=\frac{7,5}{15}=\frac{1}{2}

Do đó, \large \frac{AB}{IK}=\frac{BC}{KH}=\frac{AC}{IH}\left ( =\frac{1}{2} \right )

Xét \large \DeltaABC và \large \DeltaIKHcó: \large \frac{AB}{IK}=\frac{BC}{KH}=\frac{AC}{IH}

Suy ra \large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaIKH (c.c.c).

Tương tự, xét \large \DeltaDEG và \large \DeltaMNP có: \large \frac{DE}{MN}=\frac{DG}{MP}=\frac{EG}{NP}=\frac{1}{2}

Suy ra \large \DeltaDEG \large \sim\large \DeltaMNP(c.c.c).

Bài 2

Ta có: \large \frac{AB}{MN}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{BC}{NP}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};\frac{CA}{PM}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}

Xét \large \DeltaABC và \large \DeltaMNP có: \large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}

Suy ra \large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaMNP (c.c.c).

Do đó \large \widehat{A}=\widehat{M};\widehat{B}=\widehat{N};\widehat{C}=\widehat{P} (các cặp góc tương ứng).

Bài 3

\large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaMNP theo tỉ số đồng dạng là:

\large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{AC}{NP}=\frac{1}{1000000}

Do đó \large AB=\frac{1}{1000000}MN

\large \DeltaA’B’C’ \large \sim\large \DeltaMNP theo tỉ số đồng dạng là:

\large \frac{A'B'}{MN}=\frac{B'C'}{NP}=\frac{A'C'}{MP}=\frac{1}{1500000}

Do đó \large A'B'=\frac{1}{1500000}MN

\large \Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{\frac{1}{1500000}MN}{\frac{1}{1000000}MN}=\frac{1000000}{1500000}=\frac{2}{3}

Tương tự ta cũng có \large \frac{B'C'}{BC}=\frac{2}{3};\frac{A'C'}{AC}=\frac{2}{3}

Do đó \large \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{2}{3}

Suy ra \large \DeltaA’B’C’\large \sim\large \DeltaABC theo tỉ số đồng dạng là 2/3.

Bài 4:

Xét tam giác OMN có: \large \frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{2}{3} nên AB // MN (định lí Thalès đảo)

Do đó \large \frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{AB}{MN}(1)

Xét tam giác OMP có: \large \frac{OA}{OM}=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{3} nên AC // MP (định lí Thalès đảo)

Do đó \large \frac{OA}{OM}=\frac{OC}{OP}=\frac{AC}{MP}

Xét tam giác ONP có: \large \frac{OC}{OP}=\frac{OB}{ON}=\frac{2}{3} nên BC // NP (định lí Thalès đảo)

Do đó \large \frac{OC}{OP}=\frac{OB}{ON}=\frac{BC}{NP}(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \large \frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}(3)

Do đó \large \DeltaABC \large \sim\large \DeltaMNP (c.c.c)

Trên đây là lý thuyết Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 chi tiết cùng hướng dẫn giải bài tập cuối sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Tham khảo thêm các bài học khác trong chương trình toán 8 tại trang web vuihoc.vn bạn nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Link nội dung: https://getairvestal.com/ba-truong-hop-dong-dang-cua-hai-tam-giac-toan-8-chuong-trinh-moi-a15437.html