19/10/2024 18:15

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Trực tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường cao, nghĩa là giao điểm của các đường thẳng từ mỗi đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện của nó tạo thành một góc vuông. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Trực tâm là gì?

Cụ thể: Trong hình vẽ là các đường cao, là trực tâm tam giác ABC .

Cách xác định trực tâm của tam giác

Chú ý: a) Nếu tam giác ABC là tam giác nhọn thì trực tâm nằm trong tam giác.

b) Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại thì trực tâm trùng với điểm .

c) Nếu tam giác ABC là tam giác tù thì trực tâm nằm ngoài tam giác.

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Tính chất của trực tâm tam giác

Bài tập xác định, chứng minh trực tâm tam giác

Ví dụ: Cho ∆ABC không vuông. Gọi là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC . Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD BC, BE AC, CF AB.

Xét ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại có đường cao . Gọi trung điểm của là , trung điểm của là . Xác định trực tâm tam giác ADE .

Hướng dẫn giải

Xét bài toán phụ nếu tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của và AC thì MN // BC và BC = 2MN .

Thật vậy, trên tia đối của tia lấy điểm sao cho NP = MN

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Xét tam giác AMN và tam giác CPN có

AM = NC

$\widehat{ANM} = \widehat{CNP}$ (đối đỉnh)

MN = NP

=> ∆AMN = ∆ CPN (c - g - c)

=> MA = CP , $\widehat{MAN} = \widehat{NCP}$ (hai cạnh và hai góc tương ứng)

Hai góc $\widehat{MAN};\widehat{NCP}$ ở vị trí so le trong nên AM // CP

=> $\widehat{BMC} = \widehat{MCP}$ (hai góc so le trong)

Xét tam giác BMC và tam giác PCM có

MB = CP = MA

$\widehat{BMC} = \widehat{PCM}$ (cmt)

MC là cạnh chung

=> ∆BMC = ∆PCM (c - g - c)

=> BC = NP , $\widehat{BCM} = \widehat{CMP}$ (cặp cạnh và góc tương ứng)

Hai góc $\widehat{BCM};\widehat{CMP}$ ở vị trí so le trong nên MN // BC

Ta lại có MP = MN + NP = 2MN

=> BC = 2MN

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Xét tam giác HAB có:

BD = DH

EA = EH

=> DE // AB (theo chứng minh bên trên)

Xét tam giác ADE có

CD ⊥ AE mặt khác CA ⊥ AB và DE // AB

=> CA ⊥ DE

=> CA, DC là đường cao của tam giác ADE

Mà C là giao điểm của AC và DC

=> C là trực tâm của tam giác ADE

Ví dụ: Cho ∆ABC cân tại A có $\widehat{C} = 70^{0}$ , đường cao cắt đường trung tuyến $AM;(M \in BC)$ tại . Chứng minh $CK\bot AB$ và tính $\widehat{HKM}$ ?

Hướng dẫn

Hình vẽ minh họa

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Do ∆ABC cân tại A và AM là trung tuyến

⇒ AM cũng là đường cao ứng với BC

⇒ AM ⊥BC tại M.

Mặt khác BH ⊥ AC và K= BH ∩AM nên K là trực tâm ∆ABC .

Suy ra K thuộc đường cao hạ từ C của ∆ABC

⇒ CK ⊥AB

Ta có:

$\widehat{HKM} = \widehat{HKC} + \widehat{CKM}$

$= \left( 180^{0} - \widehat{KHC} - \widehat{KCH} \right) + \left( 180^{0} - \widehat{KMC} - \widehat{KCM} \right)$

$\Rightarrow \widehat{HKM} = \left( 180^{0} - 90^{0} - \widehat{KCH} \right) + \left( 180^{0} - 90^{0} - \widehat{KCM} \right)$

$\Rightarrow \widehat{HKM} = 180^{0} - \widehat{KCH} - \widehat{KCM}$

$\Rightarrow \widehat{HKM} = 180^{0} - \widehat{C} = 180^{0} - 70^{0} = 110^{0}$

Link nội dung: https://getairvestal.com/truc-tam-la-gi-xac-dinh-truc-tam-trong-tam-giac-a15489.html