Công thức tính thể tích hình trụ và hướng dẫn giải bài tập

Công thức tính thể tích hình trụ là một kiến thức quan trọng không chỉ trong học tập mà cũng trong nhiều ứng dụng thực tế. Trong bài viết này, Viện đào tạo Vinacontrol sẽ giúp bạn hiểu rõ cách tính thể tích hình trụ và hướng dẫn giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

1. Công thức tính thể tích hình trụ

Hình trụ là một trong những hình khối được nghiên cứu nhiều nhất trong hình học không gian. Để tích thể tích hình trụ, bạn thực hiện lấy chiều cao của khối trụ nhân với bình phương độ dài bán kính đáy hình tròn và nhân hằng số Pi.

Nói cách khác, thể tích hình trụ bằng tích diện tích mặt đáy nhân với chiều cao

Công thức tính như sau:

V = π x r^2 x h

Trong đó:

• V là thể tích của hình trụ

• r là bán kính mặt đáy
• h là chiều cao
• π là hằng số Pi

Công thức tính thể tích hình trụ

Ta có thể thấy, công thức tính thể tích trình trụ có sự tương đồng với công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật vì đều lấy diện tích mặt đáy nhân với chiều cao

Xem thêm: Công thức tính diện tích hình trụ và bài tập có lời giải

2. Cách giải các dạng bài tập tính thể tích hình trụ từ cơ bản đến nâng cao

Trong bài tập tính thể tích hình trụ, chúng ta sẽ thường gặp đề bài yêu cầu tính các đại lượng sau bao gồm: Thể tích, bán kính đáy, chiều cao. Với đại lượng thể tích, bạn có thể sử dụng công thức tính đã được trình bày ở trên. Nhưng với đại lượng bán kính đáy và chiều cao, chúng ta sẽ thực hiện tính như thế nào? Tất cả sẽ được hướng dẫn thông qua 3 dạng bài tập sau.

2.1 Tính bán kính đáy của hình trụ

Với dạng bài tập này bạn cần chú ý đến dữ kiện đề bài cho:

• TH1: Nếu đề bài cho đường kính mặt tròn, bạn thực hiện chia cho 2 để tính bán kính.
• TH2: Nếu đề bài cho chu vi mặt đáy, bạn lấy chu vi chia 2π để tính bán kính.
• TH3: Nếu mặt đáy hình trụ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Bạn sử dụng một trong những cách sau để tính bán kính:

Phương pháp 1: Sử dụng đinh lý sin trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Bán kính đáy được tính theo công thức: R = a/2sin A = b/2sin B = c/2sin C

Phương pháp 2: Sử dụng diện tích tam giác

Tam giác ABC với các cạnh a, b, c có diện tích là: S = abc/4R

Bán kính đấy sẽ được tính là: R = abc/4S

Với S của tam giác ABC sẽ được tính theo công thức Hê-rông:

S = √[(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)​]/4​

Phương pháp 3: Sử dụng trong hệ tọa độ

Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm

R = OA = OB = OC.

Phương pháp 4: Sử dụng trong tam giác vuông

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

• TH4: Nếu mặt đáy hình trụ là đường tròn nội tiếp của tam giác. Bạn sử dụng một trong những cách sau để tính bán kính:

Sử dụng diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC,

p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi. Khi đó diện tích tam giác là S = p.r

Bán kính đường tròn nội tiếp sẽ được tính như sau: r = S/p

2.2 Tính diện tích đáy hình tròn

Với dạng bài này, bạn chỉ cần thực hiện tính bán kính theo những cách được trình bày như trên. Rồi sau đó áp dựng công thức tính diện tích hình tròn S = π x r^2

2.3 Tính chiều cao của hình trụ

Để tính được chiều cao hình trụ, ta sẽ dựa vào những dữ kiện đề bài cho.

• TH1: Nếu đề bài cho độ dài đường chéo nối từ tâm của một đáy đến đường tròn của đáy còn lại. Ta sử dụng định lý Py-ta-go để tính chiều cao.
• TH2: Nếu hình trụ được cắt bởi một mặt cắt tứ giác có thể là hình vuông, hình chữ nhật,.... thì dựa vào những dữ kiện đề bài cho. Ta thực hiện tích độ dài cách cạnh của hình tứ giác có liên quan đến đề bài. Từ đó suy ra chiều cao của hình trụ.

3. Tổng hợp bài tập tính thể tích hình trụ có lời giải

Bài 1:

Tính thể tích của hình trụ biết bán kính hai mặt đáy bằng 7,1 cm; chiều cao bằng 5 cm.

Giải:

Ta có V=πr²h

thể tích của hình trụ là: 3.14 x (7,1)² x 5 = 791,437 (cm³)

Bài 2:

Một hình trụ có diện tích xung quanh là 20π cm² và diện tích toàn phần là 28π cm². Tính thể tích của hình trụ đó.

Giải:

Diện tích toàn phần hình trụ là Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr²

Suy ra, 2πr² = 28π - 20π = 8π

Do đó, r = 2cm

Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2πrh

<=> 20π = 2π.2.h<=> h = 5cm

Thể tích hình trụ là V = πr²h = π.22.5 = 20π cm³

Bài 3:

Một hình trụ có chu vi đáy bằng 20 cm, diện tích xung quanh bằng 14 cm². Tính chiều cao của hình trụ và thể tích của hình trụ.

Giải:

Chu vi đáy của hình trụ là chu vi của hình tròn = 2rπ = 20 cm

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh= 20 x h = 14→ h = 14/20 = 0,7 (cm)

2rπ = 20 => r ~ 3,18 cm

Thể tích của hình trụ: V = π r² x h ~ 219,91 cm³

Trên đây là toàn bộ nội dung về công thức tính thể tích hình trụ. Mong rằng những thông tin và Viện đào đạo Vinacontrol cung đã đã hữu ích tới bạn.

Tham khảo các công thức toán học khác:

Xem thêm: Quy đổi đơn vị đo thể tích

Xem thêm: Công thức tính diện tích hình hộp chữ nhật

Xem thêm: Công thức tích diện tích và thể tích hình cầu

Xem thêm: Công thức tính thể tích hình lập phương