Hiểu về trọng tâm tam giác

1. Ý nghĩa của Trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đóTheo sách giáo khoa hiện nay, học sinh lớp 7 đã học về trọng tâm. Định nghĩa trọng tâm được ghi lại như sau: “Trong một tam giác, ba đường trung tuyến cùng gặp nhau tại một điểm, gọi là trọng tâm”.Ví dụ: Trong tam giác ABC với ba đường trung tuyến là AM, BN, CP. Ba đường trung tuyến này gặp nhau tại điểm G, là trọng tâm của tam giác ABC.Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cùng gặp nhau tại điểm G.Điểm G được xác định là trọng tâm của tam giác ABC.

2. Đặc điểm của trọng tâm tam giác

Đặc điểm của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài của mỗi đường trung tuyến tương ứng.Cho tam giác ABC với 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP và G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, chúng ta có:Tam giác ABC có trọng tâm tại điểm G.Do đó, chúng ta có:Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Biết AM là đường trung tuyến với M nằm trên cạnh BC và AM = 12cm. Hãy tính độ dài của đoạn AG và GM?Bên cạnh đó, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Theo đó, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.- Với đường trung tuyến AM, ta có:- Đối với đường trung tuyến BN, chúng ta có:- Đối với đường trung tuyến CP, ta tính được:

3. Cách xác định trọng tâm tam giác

Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta thực hiện các bước sau:Cách 1:Cách 2:Cho tam giác ABC có AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung tuyến tại đỉnh A, B, C. Giao của ba đường trung tuyến là điểm G. Do đó, G là trọng tâm của tam giác ABC.Tính chất:

4. Trọng tâm của các hình học đặc biệt

A. Trọng tâm tam giác vuôngTam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA, do BA là đường trung tuyến của góc vuông nên: BA = 1/2 CD=AD = AC.Vậy tam giác ADB và tam giác ABC lần lượt cân tại A,B. Trọng tâm tam giác cânCho tam giác ABC cân tại A...

5. Bài tập trọng tâm của tam giác

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. Chứng minh tam giác ABC cân tại ALời giải:Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:Mà BM bằng CN nên BG cũng bằng CN và GN cũng bằng GMBG bằng CNGN bằng G...